Question

5．已知：如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=30°，EA⊥AB，FA⊥AC．
（1）判斷△AEF是什么特殊的三角形，并證明你的結論；
（2）求證：BF=EF=EC．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質得出∠C=∠B=30°，求出∠AEF=∠AFE=90°-30°=60°，得出∠EAF=60°=∠AEF=∠AFE，即可得出結論；
（2）由等邊三角形的性質得出AF=EF=AE，由三角形的外角性質得出∠B=∠FAB，證出BF=AF，同理：EC=AE，即可得出結論．

解答 （1）解：△AEF是等邊三角形；理由如下：
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵EA⊥AB，FA⊥AC，
∴∠AEF=∠AFE=90°-30°=60°，
∴∠EAF=60°=∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等邊三角形；
（2）證明：∵△AEF是等邊三角形，
∴AF=EF=AE，
∵∠AFE=∠B+∠FAB，
∴∠FAB=60°-30°=30°，
∴∠FAB=∠B，
∴BF=AF，
同理：EC=AE，
∴BF=EF=EC．

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、三角形的外角性質、直角三角形的性質；熟練掌握等邊三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．