Question

14．在平面直角坐標系中，我們不妨把縱坐標是橫坐標的2倍的點稱為“理想點”．例如點（-2，-4），（1，2），（3，6）…都是“理想點”，顯然這樣的“理想點”有無數多個．
（1）若點M（2，a）是“理想點”，且在正比例函數y=kx（k為常數，k≠0）圖象上，求這個正比例函數的表達式．
（2）函數y=3mx-1（m為常數，且m≠0）的圖象上存在“理想點”嗎？若存在，請用含m的代數式表示出“理想點”的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據“理想點”，確定a的值，即可確定M點的坐標，代入正比例函數解析式，即可解答；
（2）假設函數y=3mx-1（m為常數，m≠0）的圖象上存在“理想點”（x，2x），則有3mx-1=2x，整理得：（3m-2）x=1，分兩種情況討論：當3m-2≠0，即m≠$\frac{2}{3}$時，解得：x=$\frac{1}{3m-2}$，當3m-2=0，即m=$\frac{2}{3}$時，x無解，即可解答．

解答 解：∵點M（2，a）是正比例函數y=kx（k為常數，k≠0）圖象上的“理想點”，
∴a=4，
∵點M（2，4）在正比例函數y=kx（k為常數，k≠0）圖象上，
∴4=2k，
解得k=2
∴正比例函數的解析式為y=2x．
（2）假設函數y=3mx-1（m為常數，m≠0）的圖象上存在“理想點”（x，2x），
則有3mx-1=2x，
整理得：（3m-2）x=1，
當3m-2≠0，即m≠$\frac{2}{3}$時，解得：x=$\frac{1}{3m-2}$，
當3m-2=0，即m=$\frac{2}{3}$時，x無解，
綜上所述，當m≠$\frac{2}{3}$時，函數圖象上存在“理想點”，為（$\frac{1}{3m-2}$，$\frac{2}{3m-2}$）；
當m=$\frac{2}{3}$時，函數圖象上不存在“理想點”．

點評 本題考查了一次函數圖形上點的坐標特征，解決本題的關鍵是理解“理想點”的定義，確定點的坐標．