Question

【題目】如圖，矩形的頂點，分別在菱形的邊，上，頂點，在菱形的對角線上，與相交于點．

（1）求證：；

（2）若為中點，，求菱形的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）8

【解析】

（1）根據矩形的性質得到EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根據菱形的性質得到AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）連接EG，根據菱形的性質得到AD=BC，AD∥BC，求得AE=BG，AE∥BG，得到四邊形ABGE是平行四邊形，得到AB=EG，于是得到結論．

（1）∵四邊形EFGH是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG=DE；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E為AD中點，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，AE∥BG，
∴四邊形ABGE是平行四邊形，
∴AB=EG，
∵EG=FH=2，
∴AB=2，
∴菱形ABCD的周長=8．