Question

13．如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC于D，若AB=4cm，AD=2$\sqrt{3}$cm，E為AB的中點，P為AD上一點，PE+PB的最小值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 連接EC交于AD于點P，由等腰三角形三線和一的性質可知AD是BC的垂直平分線，從而可證明BP=PC，故此PE+PB的最小值=EC，然后證明△ACE≌△CAD，從而得到EC=AD．

解答 解：連接EC交于AD于點P．

∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC．
∴AD是BC的垂直平分線．
∴PB=PC．
∴PE+PB=EP+PC=EC．
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠EAC=∠ACD=60°，AB=BC．
∵點E和點D分別是AB和BC的中點，
∴AE=DC．
在△ACE和△CAD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DC}\\{∠EAC=∠ACD}\\{AC=CA}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CAD．
∴EC=AD=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查的是軸對稱路徑最短問題，明確當點E、P、C在一條直線上時，PE+PB有最小值是解題的關鍵．