Question

3．在平面直角坐標系xOy中，過⊙C上一點P作⊙C的切線l．當入射光線照射在點P處時，產生反射，且滿足：反射光線與切線l的夾角和入射光線與切線l的夾角相等，點P稱為反射點．規定：光線不能“穿過”⊙C，即當入射光線在⊙C外時，只在圓外進行反射；當入射光線在⊙C內時，只在圓內進行反射．特別地，圓的切線不能作為入射光線和反射光線．
光線在⊙C外反射的示意圖如圖1所示，其中∠1=∠2．
（1）自⊙C內一點出發的入射光線經⊙C第一次反射后的示意圖如圖2所示，P₁是第1個反射點．請在圖2中作出光線經⊙C第二次反射后的反射光線；
（2）當⊙O的半徑為1時，如圖3，
①第一象限內的一條入射光線平行于x軸，且自⊙O的外部照射在其上點P處，此光線經⊙O反射后，反射光線與y軸平行，則反射光線與切線l的夾角為45°；
②自點A（-1，0）出發的入射光線，在⊙O內不斷地反射．若第1個反射點P₁在第二象限，且第12個反射點P₁₂與點A重合，則第1個反射點P₁的坐標為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}）$；
（3）如圖4，點M的坐標為（0，2），⊙M的半徑為1．第一象限內自點O出發的入射光線經⊙M反射后，反射光線與坐標軸無公共點，求反射點P的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）（2）兩個問題，要根據題意，畫出圖象，可以解決．
（3）當反射光線平行X軸時，反射光線與坐標軸沒有交點，只要求出這樣的反射點，就可以解決這個問題了．

解答 解：（1）答案如圖：

（2）①由題意：∠1=∠2，∠APB=90°，
∴∠1=45°，
∴反射光與切線的夾角為45°．
②由題意：這些反射點組成的多邊形是正十二邊形，
∴入射光線與反射光線夾角為150°，
∴∠AOP1=30°，∵OP1=1，
∴P1（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（3）如圖：當反射光PA∥X軸時，反射光線與坐標軸沒有交點．
作PD⊥OC，PN⊥OM垂足分別為M，N，設PD=m．
∵∠GPO=∠HPA，∠GPC=∠HPC=90°，
∴∠OPC=∠APC=∠PCO，∴OP=OC，
在RT△PON中，∵ON=PD=m，PN²=1-（2-m）²，
∴PO²=m²+1-（2-m）²，
∵PD∥OM，∵$\frac{PD}{OM}=\frac{CP}{CM}$，∴CP=$\frac{m}{2-m}$，
CD²=（$\frac{m}{2-m}$）²-m²，
∴OC=PN+CD，
OC²=（$\sqrt{1-（2-m）^{2}}$+$\sqrt{（\frac{m}{2-m}）^{2}-{m}^{2}}$）²，
由：PO²=OC²得到：（$\frac{m}{2-m}$）²-m²=（$\sqrt{1-（2-m）^{2}}$+$\sqrt{（\frac{m}{2-m}）^{2}-{m}^{2}}$）²，
∴m1=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，（m2=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，m3=4，不合題意舍棄），
∴根據左右對稱性得到：滿足條件的反射點P的縱坐標：1$≤m＜2-\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 這是個幾何，代數綜合題．考查的知識點比較多，用到數形結合的思想，要求作圖能力強，學會用方程的思想去思考．