Question

【題目】（1）如圖1，是正方形邊上的一點，連接，，將繞點逆時針旋轉，旋轉后角的兩邊分別與射線交于點和點．寫出線段，和之間的數量關系，并說明理由；

（2）當四邊形為菱形，，點是菱形邊所在直線上的一點，連接、，將繞點逆時針旋轉，旋轉后角的兩邊分別與射線交于點和點．

①如圖2，點在線段上時，請探究線段，和之間的數量關系，寫出結論并給出證明；

②如圖3，點在線段的延長線上時，交射線于點，若，，直接寫出線段的長度．

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）①，證明見解析；②．

【解析】

(1)利用正方形性質及旋轉的性質證明△FDG≌△EDB即可；

(2)①過點作于點，仿照(1)中的思路證明△FDG≌△EDB，得到△DBG為等腰三角形，進而得出∠DBG=30°，再利用直角三角形30°角時三邊之比為即可求解；

②過A點作AN⊥DB，過D點作DH⊥GB，利用△DCM∽△EBM，進而求出CM，在△DCH中利用∠DCH=60°求出CH，進而得到即可求解．

解：(1) ，和之間的數量關系為：．理由如下：

由題意知：，，，

∴，

∴，

∴，

中，∵，

∴，

即.

故答案為：，和之間的數量關系為.

（2）①如圖2，，理由如下：

過點作于點，如下圖所示：

在菱形中，，

由旋轉得，，

在中，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵，由等腰三角形的“三線合一”知

∴，

在中，，

∴．

設，則，，

∴

在中，，

∴，

∴；

故答案為：，和之間的數量關系為.

②過A點作AN⊥DB，過D點作DH⊥GB，如下圖所示：

∵CD∥BE，

∴△DCM∽△EBM

∴，代入數據，解得

在Rt△DHC中，由∠DCH=60°，CD=4,可知，HC=2

由∠DBA=30°，AB=4可知，BN=，∴BD=

在Rt△DHB中，由∠HBD=30°，DB=可知，HB=6

又△DBF為等腰三角形，且DH⊥BG，∴FH=HB=6

∴.

故答案為：．