Question

10．在平行四邊形ABCD中，過點A作兩鄰邊CB，CD的垂線段AP，AQ，連接PQ，作AM⊥PQ于點M，作PN⊥AQ于點N，AM，PN交于點K，AC中點為點O，當點K，O，Q在同一條直線上時，若PQ=3.5，AC=4，則AK的長度為$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

Answer 1

分析 連接KQ，由已知條件可知K是△APQ垂心，由此可以證明KQ垂直平分AP，AQ垂直平分CD，四邊形KPCQ是平行四邊形，AK=PK=CQ=QD即可解決問題．

解答 解：連接KQ，
∵AM⊥PQ，PN⊥AQ，AM、PN交于點K，
∴點K是垂心，
∴KQ⊥AP，
∴BC⊥AP，
∴KQ∥BC，
∵四邊形BACD是平行四邊形，
∴BC∥AD∥KQ
∵K、O、Q在同一直線上，AO=OC，
∴DQ=QC，
∵AQ⊥DC，
∴AD=AC=4，
同理KQ垂直平分AP，
∴QA=QP=3.5，KA=KP，
∵PN⊥AQ，CD⊥AQ，
∴PN∥CD，∵KQ∥CB，
∴四邊形KPCQ是平行四邊形，
∴PK=CQ=DQ=AK，
∴AK=DQ=$\sqrt{A{D}^{2}-A{Q}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-3．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

點評 本題考查了垂心的概念、平行四邊形的判定和性質、垂直平分線的性質、勾股定理等知識，通過垂直平分線的性質證得QA=QP、AC=AD是解題的關鍵．