Question

17．已知，△ABC中，AB=AC，點E是邊AC上一點，過點E作EF∥BC交AB于點F
（1）如圖①，求證：AE=AF；
（2）如圖②，將△AEF繞點A逆時針旋轉α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．連接CE′BF′．
①若BF′=6，求CE′的長；
②若∠EBC=∠BAC=36°，在圖②的旋轉過程中，當CE′∥AB時，直接寫出旋轉角α的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形兩底角相等∠B=∠C，再根據平行線的性質得出，∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，得出∠AFE=∠AEF，進一步得出結論；
（2）求出AE=AF，再根據旋轉的性質可得∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，然后利用“邊角邊”證明△CAE′和△BAF′全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（3）把△AEF繞點A逆時針旋轉AE′與過點C與AB平行的直線相交于M、N，然后分兩種情況，根據等腰梯形的性質和等腰三角形的性質分別求解即可．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
（2）解：①由旋轉的性質得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
在△CAE′和△BAF′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE′=AF′}\\{∠E′AC=∠F′AB}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△CAE′≌△BAF′（SAS），
∴CE′=BF′=6；
②由（1）可知AE=BC，
所以，在△AEF繞點A逆時針旋轉過程中，點E經過的路徑（圓弧）與過點C且與AB平行的直線l相交于點M、N，如圖，

①當點E的像E′與點M重合時，四邊形ABCM是等腰梯形，
所以，∠BAM=∠ABC=72°，
又∵∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°；
②當點E的像E′與點N重合時，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°-72°×2=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，
綜上所述，當旋轉角α為36°或72°．

點評 此題主要考查了旋轉的性質以及等腰三角形的性質和等腰梯形的性質等知識，根據數形結合熟練掌握相關定理是解題關鍵．