Question

【題目】已知橢圓的離心率為，長軸長為，直線：交橢圓于不同的兩點、.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，且，求的值（點為坐標原點）；

（3）若坐標原點到直線的距離為，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意結合橢圓的性質可得，利用求得后即可得解；

（2）由題意直線：，設點，，聯立方程可得，，代入后，化簡即可得，即可得解；

（3）由題意結合點到直線的距離公式可得，聯立方程組可得，，進而可得，分、討論，利用基本不等式即可得解.

（1）設橢圓的半焦距為，

則，解得，所以，

所以橢圓方程為；

（2）當時，直線：，設點，，

則，化簡可得，

，

所以，，

所以

，

所以即；

（3）由坐標原點到直線的距離為，可得，

所以，

則，化簡可得，

，

所以，，

所以

，

當時，；

當時，，

因為，當且僅當時，等號成立，

所以，此時；

綜上，，

所以面積的最大值.