Question

【題目】已知正項數列{an}滿足a1=1，（n+1）a2n+1+an+1an﹣na =0，數列{bn}的前n項和為Sn且Sn=1﹣bn ．
（1）求{an}和{bn}的通項；
（2）令cn= ， ①求{cn}的前n項和Tn；
②是否存在正整數m滿足m＞3，c2 ， c3 ， cm成等差數列？若存在，請求出m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（n+1）a2n+1+an+1an﹣na =0，∴[（n+1）an+1﹣nan]（an+1+an）=0，又an+1+an＞0．

∴（n+1）an+1﹣nan=0，解得 = ．

∴an= … a1= … ×1= ．

∴an= ．

∵數列{bn}的前n項和為Sn且Sn=1﹣bn．

∴n≥2時，bn=Sn﹣Sn﹣1=1﹣bn﹣（1﹣bn﹣1），化為：bn= bn﹣1．

n=1時，b1=S1=1﹣b1，解得b1= ．

∴數列{bn}是等比數列，首項與公比都為 ．

∴bn= ．

（2）解：①cn= = ，

∴數列{cn}的前n項和Tn= + +…+ ．

∴ = + +…+ + ，

可得： = +…+ ﹣ = ﹣ ，

可得：Sn=2﹣ ．

②假設存在正整數m滿足m＞3，c2，c3，cm成等差數列，

則2c3=c2+cm，

∴ = + ，化為：2m﹣2=m．

m=4時，滿足：2m﹣2=m．

m≥5時，2m﹣2﹣m=（1+1）m﹣2﹣m

=1+ + + +…﹣m

=1+m﹣2+ + +…﹣m

= + +…﹣1＞0．

∴m≥5時，2m﹣2﹣m＞0，因此2m﹣2=m無解．

綜上只有m=4時，滿足m＞3，c2，c3，cm成等差數列．

【解析】（1）（n+1）a2n+1+an+1an﹣na =0，因式分解為[（n+1）an+1﹣nan]（an+1+an）=0，又an+1+an＞0．可得 = ．利用an= … a1，可得an．數列{bn}的前n項和為Sn且Sn=1﹣bn．n≥2時，bn=Sn﹣Sn﹣1，化為：bn= bn﹣1．n=1時，b1=S1=1﹣b1，解得b1．利用等比數列的通項公式即可得出bn．（2）①cn= = ，利用錯位相減法與等比數列的求和公式即可得出．

②假設存在正整數m滿足m＞3，c2，c3，cm成等差數列，2c3=c2+cm，代入化為：2m﹣2=m．對m分類討論即可得出．