已知函數
．
（1）求證：函數
在區間
上存在唯一的極值點；
（2）當
時，若關于
的不等式
恒成立，試求實數
的取值范圍.
（1）詳見解析；（2）
.
解析試題分析：（1）先求
與
，看兩值是否異號，然后證明
在[0，1]上單調性，即可證明函數在區間[0，1]上存在唯一的極值點；
（2）由得：
，令
，則
，
. 令
，則
，
，
，
所以
在
上單調遞增，
，對a進行和
討論得出結論．
試題解析：（1）
， 1分
∵
，
，
∴
， ∴
在區間上存在零點． 3分
令 
，則
，
∴在區間上單調遞增， 5分
∴在區間上存在唯一的極小值點． 6分
（2）由得：，
令，則，
令，則，，，
所以在上單調遞增，. 9分
（1）當時，
恒成立，即
，
所以
在上單調遞增， 
. 11分
（2）當時，存在
使
，即
，
當
時，
，所以在
上單調遞減，
，這與
對
恒成立矛盾.
綜合（1）、（2）得：. 14分
考點：利用導數求閉區間上函數的最值；函數在某點取得極值的條件．
53隨堂測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
..
（1）設曲線
處的切線為
，點（1，0）到直線l的距離為
，求a的值；
（2）若對于任意實數
恒成立，試確定
的取值范圍；
（3）當
是否存在實數
處的切線與y軸垂直？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝ax2－(4a＋2)x＋4lnx，其中a≥0．
（1）若a＝0，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
（2）討論函數f(x)的單調性．
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，
，
．
，試判斷并用定義證明函數
的單調性；
時，求函數
．
.
，
，其中
.
是函數
的極值點，求
的值；
上單調遞增，求
的取值范圍；
，求證：
.
， 
的單調區間；
內存在
，使不等式
成立，求
的取值范圍.
的單調增區間
內單調遞增，求
的取值范圍.
．
的單調區間與極值； 
且
時，
．