Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，點在橢圓上， 為坐標原點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點為橢圓上的三點，若四邊形為平行四邊形，證明：四邊形的面積為定值，并求該定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由橢圓離心率，可得 ，將 代入橢圓方程可得 ，則橢圓方程可求；

（2）分情況討論，當不存在時， 方程為： 或，可得 ．

當直線的斜率存在時，設直線方程為： ， ， ．

將的方程代入得： ，可求得

由得： ，

將點坐標代入橢圓方程得： ．又到直線的距離，，最后由

.

綜上，平行四邊形的面積為定值．

試題解析：

（1）由，得，

將代入橢圓的方程可得，所以，

故橢圓的方程為．

（2）當直線的斜率不存在時， 方程為： 或，

從而有，

所以．

當直線的斜率存在時，

設直線方程為： ， ， ．

將的方程代入整理得： ，

所以， ，

，

由得： ，

將點坐標代入橢圓方程得： ．

點到直線的距離，

，

.

綜上，平行四邊形的面積為定值．