Question

【題目】已知函數.

(1)若函數在上是減函數,求實數的取值范圍;

(2)當時,分別求函數的最小值和的最大值,并證明當時, 成立;

(3)令,當時,判斷函數有幾個不同的零點并證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）1個

【解析】試題分析：（1）由題意得在上恒成立,根據恒成立問題的解答方法求解;

（2）分別求出函數和的導數,研究出函數的單調性即可求出最值;

根據題意得,可判斷出,即在上單調遞減,得出函數至多有一個零點,再利用零點存在性定理進行判斷.

試題解析：

(1)由題意得在上恒成立,

令,有即,

得,所以.

(2)由題意可得

令,則,

所以在上單調遞減,在上單調遞增,

所以當時, 取最小值3， ,令,得,

當在上單調遞增,所以,

因為當時, ,

所以當時, .

(3)因為,

所以,

其定義域為,,

因為,所以,所以在上單調遞減,

因為,所以,所以，又,所以函數只有1個零點.