Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，左右焦點分別是和，以為圓心，3為半徑的圓與以為圓心，1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程.

（2）設橢圓，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線交橢圓E于A、B兩點，射線OP交橢圓E于點Q.

①判斷是否為定值？若是定值求出該定值，若不是定值說明理由.

②求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①為定值，定值為2；②.

【解析】

(1) 設兩圓的一個交點為P，則，，由橢圓的定義可求出，又離心率為求出，從而可得橢圓C的方程;

(2) ①設P（x0，y0），，可得,將其代入橢圓的方程可得結果;

②設A（x1，y1），B（x2，y2），將直線與橢圓E的方程聯立,利用根與系數的關系表示出弦長，同時直線與兩橢圓都有交點，兩個判別式大于0，到直線的距離將到直線的距離表示出來，再將面積表示出來求最值可求得結果.

（1）設兩圓的一個交點為P，則，，

由P在橢圓上可得，

則，，得，則，

故橢圓方程為.

（2）①橢圓方程，，則，

在射線上，，，

代入可得，

，=2.

②直線為，由①可得為的中點，在直線上，

則到直線的距離與到直線的距離相等，則，

，，聯立，，

則，，

=，

聯立，得，∴，∴，

，當時，面積的最大值為.