Question

【題目】某企業為打入國際市場，決定從A，B兩種產品中只選擇一種進行投資生產，已知投資生產這兩種產品的有關數據如表：（單位：萬美元）

	年固定成本	每件產品成本	每件產品銷售價	每年最多可生產的件數
A產品	20	m	10	200
B產品	40	8	18	120

其中年固定成本與年生產的件數無關，m是待定常數，其值由生產A產品的原材料決定，預計m∈[6，8]，另外，年銷售x件B產品時需上交0.05x2萬美元的特別關稅，假設生產出來的產品都能在當年銷售出去．
（1）求該廠分別投資生產A、B兩種產品的年利潤y1 ， y2與生產相應產品的件數x之間的函數關系，并求出其定義域；
（2）如何投資才可獲得最大年利潤？請設計相關方案．

Answer 1

【答案】
（1）解：y1=10x﹣（20+mx）=（10﹣m）x﹣20，0＜x≤200，且x∈N

y2=18x﹣（8x+40）﹣0.05x2=﹣0.05x2+10x﹣40，0＜x≤120且x∈N

（2）解：∵6≤m≤8

∴10﹣m＞0

∴y1=（10﹣m）x﹣20為增函數

又0≤x≤200，x∈N

∴x=200時，生產A產品有最大利潤（10﹣m）×200﹣20=1980﹣200m（萬美元）

y2=﹣0.05x2+10x﹣40=﹣0.05（x﹣100）2+4600≤x≤120，x∈N

∴x=100時，生產B產品有最大利潤460（萬美元）

（y1）max﹣（y2）max

=1980﹣200m﹣460

=1520﹣200m

當6≤m＜7.6時，（y1）max﹣（y2）max＞0

當m=7.6時，（y1）max﹣（y2）max=0

當7.6＜m≤8時，（y1）max﹣（y2）max＜0

∴當6≤m＜7.6投資A產品200件可獲得最大利潤

當7.6＜m≤8投資B產品100件可獲得最大利潤

m=7.6生產A產品與B產品均可獲得最大年利潤

【解析】（1）利潤=年銷售收入﹣固定成本﹣產品成本﹣特別關稅，可求得該廠分別投資生產A、B兩種產品的年利潤y1 ， y2與生產相應產品的件數x之間的函數關系和定義域；（2）作差法比較年利潤y1 ， y2的大小，設確定計相關方案．