Question

設不等式組所表示的平面區域為，記內的格點（格點即橫坐標和縱坐標均為整數的點）個數為
（1）求的值及的表達式；
（2）設為數列的前項的和，其中，問是否存在正整數，使成立？若存在，求出正整數；若不存在，說明理由

Answer 1

(1) (2) 存在正整數使成立.

解析試題分析：（1）直接把n=1，2代入即可求出f（1），f（2）的值；再把x=1，x=2代入綜合求出
f（n）的表達式；（2）先利用b_n=2^f（n）求出數列{b_n}的通項公式，進而求出S_n；把S_n代入，化簡得化簡得，（﹡），再分t=1以及t＞1求出其對應的n即可說明結論．
⑴
當時，取值為1，2，3，…，共有個格點
當時，取值為1，2，3，…，共有個格點
∴
⑵
將代入，化簡得，（﹡）
若時，顯然
若時（﹡）式化簡為不可能成立
綜上，存在正整數使成立.
考點：數列與函數的綜合；數列與不等式的綜合．