Question

【題目】已知橢圓，、分別是其左、右焦點，過的直線與橢圓交于兩點，且橢圓的離心率為，的周長等于.

（1）求橢圓的方程；

（2）當時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由橢圓的離心率為，得，由的周長等于，可得，結合，可求出橢圓方程.
（2）當直線l的斜率不存在時,不滿足條件，當直線l的斜率存在時，設l：，與橢圓方程聯立，寫出韋達定理，然后由弦長公式可得關于的方程，解出，即得到直線l的方程.

解：（1）由題可得，，即

的周長等于，的周長為

即，所以，

而，解得

則橢圓C的方程為：.

（2）設，由（1）可得，

當直線l的斜率不存在時，l的方程為，代入橢圓方程得：.

所以，即，不符合題意，

當直線l的斜率存在時，可設l：，

聯立直線l與橢圓C可得：，

，，

，解得，

所以直線l的方程為或.