Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）設函數，若函數在區間上存在正的極值，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）

【解析】

（1）求導后，根據導函數的正負可確定所求的單調區間；

（2）求導后可知的正負由決定，利用導數可求得單調性和最值，根據在上有極值，可知，解不等式求得；分別在和兩種情況下，根據單調性確定上的極值，結合導數確定極值的正負，從而得到結果.

（1）當時，，其定義域為.

，令得：，令得：，

的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2），

，

令，，則.

令得：，令得：，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

又，，，顯然.

若函數在區間上存在極值，則，解得：.

①當，即時，一定存在，使得，

不妨設，則此時，在區間上為負，在區間上為正，在區間上為負，

在區間上為負，在區間上為正，在區間上為負，

在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

，.

當時，函數在區間上存在兩個極值，，且.

，令，其中.

，在區間上單調遞增，

即當時，，，

當時，函數在區間上的極值滿足，即函數在區間上存在正的極值.

②當，即時，一定存在，使得，使得函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

則函數在區間上的極大值是，且，

當時，函數在上存在正的極值.

綜上所述：當時，函數在區間上存在正的極值.