Question

【題目】設n為正整數，集合A=，，，，，．對于集合A中的任意元素和，記．

（Ⅰ）當n=3時，若，，求和的值；

（Ⅱ）當時，對于中的任意兩個不同的元素，，證明：．

（Ⅲ）給定不小于2的正整數n，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同元素，，．寫出一個集合B，使其元素個數最多，并說明由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2，2；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據定義直接計算即可；

（Ⅱ）設，，有，,可得，

所以，易得，

，即可證明結論.

（Ⅲ）根據抽屜原理即可得證.

（Ⅰ）因為，，

所以，

；

（Ⅱ）當時，對于中的任意兩個不同的元素，

設，，有

，．

對于任意的，，，，，，

當時，有，

當時，有．

即，

所以，有，

又因為，

所以，，，，，當且僅當時等號成立，

所以，

，

即，當且僅當（，，，）時等號成立；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可證，對于任意的，

若，則，成立．

所以，考慮設

，

，，，，，

對于任意的，，，，

，，，

所以，

假設滿足條件的集合B中元素個數不少于，

則至少存在兩個元素在某個集合（，，，）中，

不妨設為，則．

與假設矛盾，所以滿足條件的集合B中元素個數不多于．

取；

對于，，，，取，且；．

令，

則集合滿足條件，且元素個數為,

故是一個滿足條件且元素個數最多的集合．