Question

【題目】已知矩形，為中點，將至折起，連結.

（1）當時，求證：；

（2）當時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由線面垂直的判定定理可證平面，再由線面垂直的性質定理可知，進而由線面垂直的判定定理可證平面，最后由線面垂直的性質定理可證；

（2）過點作直線平面，以點為原點，分別以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，設，的坐標為，由已知關系構建三元一次方程組求得,再分別計算平面和平面的法向量，最后由數量積公式求夾角的余弦值即可.

（1）證明：由題意可知，

，平面，平面，所以平面，

又平面，所以，

因為，平面，平面，

所以平面，

又平面.所以.

（2）過點作直線平面，以點為原點，分別以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，設，

則，設點的坐標為，則的坐標為，

①

又 ②，

③

解由①②③構成的方程組可得，即點的坐標

進而

設平面的一個法向量為，可得

所以，令，解得，即，

易知，平面的一個法向量，

，

由圖可知，二面角的大小為銳角，

二面角的余弦值為.