Question

【題目】已知函數，，.

（1）討論函數的單調性；

（2）若存在與函數，的圖象都相切的直線，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）.

【解析】

（1）求的定義域，導數，利用二次函數的性質分類討論導數的正負，從而求出的單調性. （2）函數的圖象上點與函數的圖象上點處切線相同，利用導數求切線的斜率建立關系式，求出導數和單調區間以及最值，運用單調性計算可求出的范圍.

（1）函數的定義域為，

.

，

所以當即時，，在上單調遞增；

當，即或時，

方程的根為，.

當時，有，，在上單調遞增；

當時，有.

	+	-	+
	增	減	增

綜上：當時，在上單調遞增，

當時，在，上單調遞增，

在上單調遞減.

（2）設函數的圖象上點與函數的圖象上點處切線相同，

則，

即，

由得 ①

由，

得 ②

由①②得：，

設

問題轉化為在有解，

則，

不妨設，

則當時，，當時，，

∴在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

∴是的最小值.

只需，即 ③

而，故代入③式，得

，

令，易得，

，則在遞增.

故的解集是（0，1]，即.

由，得.

即實數的取值范圍是.