Question

【題目】已知數列{an}，{bn}滿足a1=2，b1=4，且 2bn=an+an+1 ， an+12=bnbn+1 ．
（Ⅰ）求 a 2 ， a3 ， a4 及b2 ， b3 ， b4；
（Ⅱ）猜想{an}，{bn} 的通項公式，并證明你的結論；
（Ⅲ）證明：對所有的 n∈N* ， … ＜ ＜ sin ．

Answer 1

【答案】解：（I）令n=1得 ，解得 ，

令n=2得 ，解得 ，

令n=3得 ，解得 ．

（II）猜想：an=n（n+1），bn=（n+1）2．

證明：當n=1時，猜想顯然成立，

假設n=k（k≥1）猜想成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2，

∵2bk=ak+ak+1，∴ak+1=2bk﹣ak=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+1）（k+2），

∵ak+12=bkbk+1，∴bk+1= =（k+2）2，

∴當n=k+1時，猜想成立，

∴an=n（n+1），bn=（n+1）2，n∈N+．

（III）證明：由（II）可知 = ，

于是原不等式等價于 … ＜ ＜ sin ，

（i）先證 … ＜ ，

∵4n2﹣1＜4n2，∴（2n+1）（2n﹣1）＜4n2，

∴（2n﹣1）2（2n+1）＜4n2（2n﹣1），

即（ ）2＜ ，即 ＜ ，

∴ … ＜ … = ，

（ii）再證 ＜ sin ．

令 =x，則0＜x≤ ＜ ，

設f（x）=x﹣ sinx，則f′（x）=1﹣ cosx＜0，

∴f（x）在（0， ）上單調遞減，

∴f（x）＜f（0）=0，即x sinx，

∴ ＜ sin ．

綜上，對所有的 n∈N*， … ＜ ＜ sin ．

【解析】（I）利用特值法分別令n=1，n=2，n=3代入，即可求的答案；
（Ⅱ）猜想：an=n（n+1），bn=（n+1）2．利用數學歸納法證明猜想；
（III）由（II）得到證明的猜想可知，。用不等式的放縮即可證明。
【考點精析】認真審題，首先需要了解歸納推理(根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納理)．