Question

【題目】已知橢圓的上頂點為A，右焦點為F，O是坐標原點，是等腰直角三角形，且周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線l與AF垂直，且交橢圓于B，C兩點，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依題意求出，，的值，即可求出橢圓方程；

（2）由（1）可得直線的斜率，則可設直線的方程為，

聯立直線與橢圓方程，利用根的判別式求出參數的范圍，設，，利用韋達定理及點到線的距離公式表示出及點到直線的距離，則利用導數求出面積的最值；

解：（1）在中，，，則，

因為是等腰直角三角形，且周長為，

所以，，，

得，，

因此橢圓的方程為.

（2）由（1）知，，則直線的斜率，

因為直線與垂直，所以可設直線的方程為，

代入，得，

則，解得，

所以.

設，，則，，.

又點到直線的距離，

所以，.

令，

則，

令，則或，

令，則或.

因此在上是增函數，在上是減函數，

在上是增函數，在上是減函數.

因為，，，

所以當時，取得最大值，，

所以，

因此面積的最大值是.