Question

【題目】在平面直角坐標系中，圓，點，過的直線與圓交于點，過做直線平行交于點．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過的直線與交于、兩點，若線段的中點為，且，求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）由題意可得，可得，則的軌跡是焦點為，，長軸為的橢圓的一部分，再用待定系數法即可求出方程；

（2）由題意設直線方程為，設，，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理表示出，可得，設四邊形的面積為，則，再根據基本不等式即可求出答案．

解：（1）因為，又因為，所以，

所以，

所以的軌跡是焦點為，，長軸為的橢圓的一部分，

設橢圓方程為，

則，，所以，，

所以橢圓方程為，

又因為點不在軸上，所以，

所以點的軌跡的方程為；

（2）因為直線斜率不為0，設為，

設，，聯立整理得，

所以，，，

所以，

∵，∴，

設四邊形的面積為，

則 ，

令，

再令，則在單調遞增，

所以時，，

此時，取得最小值，所以．