【題目】已知函數
．
（1）判斷函數
的奇偶性，并說明理由；
（2）已知不等式
在
上恒成立，求實數
的最大值；
（3）當
時，求函數
的零點個數．
【答案】（1）見解析（2）
（3）9個
【解析】
(1) 當
時，
可得
是偶函數，當
時，可得是非奇非偶函數.
(2) 當
時, 
,即將問題轉化為
在
上恒成立，設
，只要使
．然后求出
的導數，求出函數的最小值.
（3）當時，，得到
得
或
，問題即求和
和
三個方程總的解的個數．
解：（1）函數定義域為
，關于原點對稱．
當時，，
，
，
則是定義在上的偶函數；
當時，
，
，
且
，
所以是非奇非偶函數．
（2）當時，
，即已知
在上恒成立，
即在上恒成立，
令，只要使．
，因為
，
當
時，
，在
上單調遞減，
當
時，
，在
上單調遞增，
即的最小值是
，
解不等式
，得
．所以實數
的最大值是．
（3）當時，，解得或，
問題即求和和三個方程總的解的個數．
由（1）得函數是偶函數，
當
時，
，
，
當
時，
，在
上單調遞減；
當
時，
，在
上單調遞增；
所以
，且
由偶函數的性質，在上單調遞減，
在上單調遞增，在上單調遞減，
在
上單調遞減，在
上單調遞增
方程有3個解；方程
有2個解；
方程
有4個解；所以函數
的零點個數是9個．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
經過點
,且離心率為
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）過點
任作一條直線
與橢圓
交于不同的兩點
.在
軸上是否存在點
，使得
？若存在，求出點
的坐標；若不存在，請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分13分）
如圖，已知拋物線
，過點
任作一直線與
相交于
兩點，過點
作
軸的平行線與直線
相交于點
（
為坐標原點）.
(1)證明：動點
在定直線上；
(2)作
的任意一條切線
（不含
軸）與直線
相交于點
，與（1）中的定直線相交于點
，證明：
為定值，并求此定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，圓
，點
，過
的直線
與圓
交于點
，過做直線
平行
交
于點
．
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）過的直線與交于
、
兩點，若線段
的中點為
，且
，求四邊形
面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓E：
y2＝1（m＞1）的離心率為
，過點P（1，0）的直線與橢圓E交于A，B不同的兩點，直線AA0垂直于直線x＝4，垂足為A0．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求證：直線A0B恒過定點．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD菱形，
,平面
平面 ABCD，
.E，F 分別是線段 SC，AB 上的一點, 
.
（1）求證：
平面SAD;
（2）求平面DEF與平面SBC所成銳二面角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩陶瓷廠生產規格為
的矩形瓷磚(長和寬都約為
) ，根據產品出廠檢測結果，每片瓷磚質量
(單位:
)在
之間的稱為正品，其余的作為廢品直接回爐處理.正品瓷
磚按行業生產標準分為“優等”、“一級”、“合格”三個標準，主要按照每片瓷磚的“尺寸誤差”加以劃分，每片價格分別為
元、
元、
元.若規定每片正品瓷磚的“尺寸誤差”計算方式為，設矩形瓷磚的長與寬分別為
(單位:
) ，則“尺寸誤差”為
，“優等”瓷磚的“尺寸誤差”范圍是
，“一級”瓷磚的“尺寸誤差”范圍是
，“合格”瓷磚的“尺寸誤差”范圍是
.現分別從甲、乙兩廠生產的正品瓷磚中隨機抽取
片瓷磚，相應的“尺寸誤差”組成的樣本數據如下:
(甲廠產品的“尺寸誤差”頻數表)
尺寸誤差 | 頻數 |
|
|
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|
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|
|
|
|
(乙廠產品的“尺寸誤差”柱狀圖)
（1）根據樣本數據分別計算甲、乙兩廠生產的正品瓷磚的“尺寸誤差”的平均值；
（2）若用這個樣本的頻率分布估計總體分布，求乙廠所生產的正品瓷磚的平均價格；
（3）現用分層抽樣的方法從甲廠生產的片樣本瓷磚中隨機抽取
片，再從抽取的片瓷磚中的“一級”瓷磚與“合格”瓷磚中隨機選.取
片進一步分析其“平整度”，求這片瓷磚的價格之和大于
元的概率.
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