Question

【題目】對于函數，若在定義域內存在實數，滿足，則稱為“類函數”.

（1）已知函數，試判斷是否為“類函數”？并說明理由；

（2）設是定義域上的“類函數”，求實數的取值范圍；

（3）若為其定義域上的“類函數”，求實數取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據題意，得到，根據三角函數的恒等變換化簡，得，得到存在滿足，即可作出判定；

（2）根據可化為，令，得到方程在有解可保證是“M類函數”，分離參數，即可求解.

（3）由為其定義域上的“類函數”，得到存在實數使得，根據分段函數的解析式，結合函數的單調性，分類討論，即可求解.

（1）由題意，函數在定義域內存在實數，滿足，

可得，即，

整理得，

所以存在滿足

所以函數是“M類函數”.

（2）當時，可化為，

令，則，

從而在有解可保證是“M類函數”，

即在有解可保證是“M類函數”，

設在為單調遞增函數，可得函數的最小值為，

所以，即.

（3）由在上恒成立，可得，

因為為其定義域上的“類函數”，

所以存在實數使得，

①當時，則，

所以，所以，即，

因為函數為單調增函數，所以；

②當時，，此時，不成立；

③當，則，所以，所以

因為函數為單調減函數，所以；

綜上所述，求實數取值范圍.