Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=3，an+1=2an﹣n+1，數列{bn}滿足b1=2，bn+1=bn+an﹣n．
（1）證明：{an﹣n}為等比數列；
（2）數列{cn}滿足 ，求數列{cn}的前n項和Tn ， 求證：Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1=2an﹣n+1，∴an+1﹣（n+1）=2（an﹣n），即bn+1=2bn．

∵a1﹣1=2，∴{an﹣n}是以2為首項，2為公比的等比數列

（2）解：由（1）可得：bn=an﹣n=2n．

∴ = = ﹣ ．

∴Tn= + +…+

=

【解析】（1）an+1=2an﹣n+1，可得an+1﹣（n+1）=2（an﹣n），即bn+1=2bn．即可證明．（2）由（1）可得：bn=an﹣n=2n．可得 = = ﹣ ．利用裂項求和方法、數列的單調性即可證明．
【考點精析】通過靈活運用等比關系的確定和數列的前n項和，掌握等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．