Question

【題目】已知函數.

（1）試判斷函數的單調性；

（2）若函數在上有且僅有一個零點，

①求證：此零點是的極值點；

②求證：.

（本題可能會用到的數據：）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析.

【解析】

（1）求出，由，得 ，對參數分類討論，當時，恒成立，求出單調區間；當，令，求出方程的根，即可求得結論；

（2）①求出，可判斷在單調遞增，根據零點存在性定理可得，，使得，結合的單調性，可得,時，，在單調遞減，單調遞增，在上有且僅有一個零點，此零點為極小值點；

②由①得，，且，整理得，且，為函數

的零點，通過求導判斷的單調性，結合零點存在性定理，可求，根據在單調遞增，即可求出結論.

（1）∵，

∵，∴，∴時，恒成立，

所以在單調遞增，沒有單調遞減區間.

時，設，則對稱軸，，

解不等式可得：，或，

所以此時的單調遞增區間為和.

單調遞減區間是，

綜上：時，單調遞增區間是，沒有單調遞減區間：

時，單調遞增區間為和，

單調遞減區間是；

（2）①∵，

∴在單調遞增，又因為，

∴，使得，且時，

時，，

∴在單調遞減，單調遞增，

∵在上有且僅有一個零點，

∴此零點為極小值點；

②由①得，即，

解得：，且，

設，，

∵，

則在單調遞減，

因為，，∴，

又因為在單調遞增，，，

∴.