Question

【題目】定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓．

（1）若橢圓，判斷與是否相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請說明理由；

（2）寫出與橢圓相似且短半軸長為的橢圓的方程；若在橢圓上存在兩點、關于直線對稱，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)相似;相似比為;(2);.

【解析】

(1)分別求出兩個橢圓的特征三角形的腰長和底邊長2,進而求出兩個橢圓的相似比;

(2)由題意易得與橢圓與橢圓的相似比為1:,進而可求得橢圓得長半軸長,即可得橢圓的方程為;設直線方程為,聯立直線方程和橢圓的方程消元化簡，借助于與的交點關于對稱和根的判別式大于零,可求得的取值范圍.

(1)由題意知:橢圓的特征三角形是腰長為=2,底邊長2=2的等腰三角形; 橢圓的特征三角形是腰長為=4,底邊長2=4的等腰三角形,則由,得兩個三角形相似,所以可得橢圓與橢圓相似,且相似比為;

(2)由橢圓和橢圓相似,且短半軸長分別為1和,可得相似比為1:,則可得橢圓的長半軸長為2,所以橢圓的方程為:;

由題意設直線為,點M,N,中點坐標為(),

聯立消元化簡得:

∴∴,, ∴中點坐標為(,)

由中點在直線上,可得=+1,解得=,

由直線與橢圓有兩個不同的交點得,

代入=解得.

故實數的取值范圍為