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【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，為橢圓C上一點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設橢圓C的左、右頂點分別為，，過，分別作x軸的垂線，，橢圓C的一條切線與，交于M，N兩點，求證：是定值.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

(1)根據橢圓離心率，將點代入橢圓方程，由此即可求出橢圓方程；

(2)由題設知，與的方程聯立消去可得，再根據判別式可得，再求出點 的坐標，根據向量的數量積即可證明．

(1)由題意可知得，

故所求橢圓C的標準方程為；

(2)證明：由題意可知，的方程為，的方程為，

直線l與直線，聯立可得，，

所以，.

所以.

聯立得

因為直線l與橢圓C相切，

所以，

化簡，得.

所以，

所以，故為定值

(注：可以先通過計算出此時，再驗證一般性)

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知動圓Q經過定點，且與定直線相切（其中a為常數，且）.記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線？

（2）設點P的坐標為，過點P作曲線C的切線，切點為A，若過點P的直線m與曲線C交于M，N兩點，則是否存在直線m，使得？若存在，求出直線m斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，點E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD為正三角形，點M，N分別在AE，CD上運動（不含端點），且AM＝CN，則當四面體C﹣EMN的體積取得最大值時，三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為_____.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知件次品和件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結束．

（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；

（2）已知每檢測一件產品需要費用元，設表示直到檢測出件次品或者檢測出件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系.xOy中，曲線C1的參數方程為（ 為參數），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=4sinθ.

（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；

（2）已知曲線C2的極坐標方程為，點A是曲線C3與C1的交點，點B是曲線C3與C2的交點，且A，B均異于原點O，且|AB|=4，求α的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在正方體中，、分別在和上（異于端點），則過三點、、的平面被正方體截得的圖形不可能是（ ）

A.正方形B.不是正方形的菱形

C.不是正方形的矩形D.梯形

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】共享單車是指由企業在校園、公交站點、商業區、公共服務區等場所提供的自行車單車共享服務，由于其依托“互聯網+”，符合“低碳出行”的理念，已越來越多地引起了人們的關注.某部門為了對該城市共享單車加強監管，隨機選取了50人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調査，并將問卷中的這50人根據其滿意度評分值（百分制）按照分成5組，請根據下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：

頻率分布表

組別

分組

頻數

頻率

第1組

8

0.16

第2組

▆

第3組

20

0.40

第4組

▆

0.08

第5組

2

合計

▆

▆

（1）求的值；

（2）若在滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進行座談，求所抽取的2人中至少一人來自第5組的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，四個頂點恰好構成了一個邊長為且面積為的菱形．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知直線，過右焦點F2，且它們的斜率乘積為，設，分別與橢圓交于點，和，，的中點為，的中點為，求面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線和點，過點作直線分別交于，兩點，為線段的中點，為拋物線上的一個動點.

（1）當時，過點作直線交于另一點，為線段的中點，設，的縱坐標分別為，.求的最小值；

（2）證明：存在的值，使得恒成立.

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