Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，.

（1）證明：當點在上運動時，始終有平面平面；

（2）求銳二而角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由底面ABCD，證得，又由勾股定理，得，利用線面垂直的判定定理，得到平面PBC，再由面面垂直的判定定理，可得平面平面，即可得到結論；

（2）分別以CD，CF，CP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

（1）由題意，因為底面ABCD，平面ABCD，所以，

又因為，所以，，所以，

所以，從而得到．

又平面PBC，平面PBC，，所以平面PBC，

又平面，所以平面平面，

所以當點E在PB上運動時，始終有平面平面PBC.

（2）由條件知底面ABCD，且，

所以過點C作交AB于點F，分別以CD，CF，CP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系（如圖所示），

所以，，，.

由（1）知為平面PBC的一個法向量，

因為，，

設平面PAB的一個法向量為，則，

即，令，則，所以，

所以，

故銳二面角的余弦值．