Question

【題目】已知函數．

(1) 若，求的最小值；

(2) 若在上單調遞增，求的取值范圍；

(3) 若， 求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）先求出，再用求導的方法求出單調區間，極值，從而求出最值；

（2）問題轉化為在恒成立，方法有二：

解法一：對分類討論，求出；

解法二：分離出參數，構造函數，轉化為與函數的最值關系；

（3）應用二次求導，先確定，要證，轉為證，利用函數的單調性證轉為證的大小關系，構造函數，通過研究函數的最值，從而得到結論.

解：(1)函數的定義域為，

，

若，記，則

的單調減區間為，單調增區間為.

的最小值為

（2）在上單調遞增,

當且僅當在區間恒成立，

即在區間恒成立，

(I) 若，由（1）知

在定義域上單調遞增，滿足條件

(II)若，

令，

所以取有，不合題意

綜上所述，若在上單調遞增，則的取值范圍是

(2)法二：

記，則

記,則

在上單調遞減

(根據洛比塔法則)

.

（3） 若，，

∴ 在上單減，

當 時，在（0，1）上單增；

當時，在（1，+）上單減；

令，則

其中令

當時，在單減，

在（0，1）上單增，

又在上單調遞減