Question

【題目】設函數．

（1）若在處的切線與直線平行，求的值；

（2）討論函數的單調區間；

（3）若函數的圖象與軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為，證明．

Answer 1

【答案】（1） （2）詳見解析（3）證明詳見解析.

【解析】

（1）首先求，根據解出的值；

（2）由（1）得，分和兩種情況討論函數的單調區間；

（3）設出函數的圖象與軸交于兩點的橫坐標，利用分析法和根據（2）的結論進行證明，根據要證明的結論和分析的過程，利用放縮法，換元法，構造函數法解答，再利用導數求出函數的最值，即可證明.

（1）

又因為的圖象在處的切線與直線平行，

即，即 ，

解得：；

（2）由（1）得，

的定義域為，

，

①當時，對任意，，

此時函數的單調遞增區間為.

②當時，令，解得：，

當時，，當時，，

此時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

（3）不妨設，，且，由（2）知，

于是要證明成立，只需證：，即，

①

②，

①-②得，

，

故只需證明，

即證明，

即證明，變形為，

設，令，，

顯然當時，，當且僅當時，

在上是增函數，

又，

當時，總成立，命題得證.