Question

【題目】已知等差數列的前項和為，等比數列的前項和為，且

（1）設，求數列的通項公式；

（2）在（1）的條件下，且，求滿足的所有正整數；

（3）若存在正整數，且，試比較與的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當d=0, 當，（2）（3） ，見解析

【解析】

（1）設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，根據a3＝b2，a4＝b3，a1＝b1＝1建立關系求解an，bn的通項公式，可得數列{an+bn}的通項公式；

（2）利用等差數列和等比數列的前n項和公式建立關系，利用函數的極值思想，求解n、m的關系，可得答案．

（3）存在正整數m（m≥3），且am＝bm＞0，需對q＝1或q＞1進行討論，利用一次函數與指數函數的圖像特點，即可得結論．

（1）設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，

∵a1＝b1＝1．

a3＝b2，a4＝b3，∴1+2d＝q，1+3d＝q2，

聯立解得d＝0，q＝1；d，q．

∴d＝0，q＝1時，an＝1，bn＝1，an+bn＝2．

d，q時，an＝1（n﹣1），bn，an+bn．

（2）在（1）的條件下，且an≠an+1，∴d≠0，d，q，

Sn＝n，Pm2．

n22，

解得：n或n．

滿足Sn＝Pm的所有正整數n、m為：，，，，

（3）存在正整數m（m≥3），且am＝bm＞0，

1+（m﹣1）d＝qm﹣1＞0．

1，1+d，1+2d，…，1+（m﹣1）d．

1，q，q2，…，qm﹣1．

若q＝1，則（m﹣1）d＝0，可得d＝0．則Sm＝m，Pm＝m，此時Sm＝Pm．

若q≠1，則d≠0，將{an}與{bn}分別視為關于x的函數，

若有am＝bm則q＞1．大致圖像：

由一次函數與指數函數的圖像特點可得:當1<n< m時，an>bn，

∴Sm﹣Pm＞0．

∴存在正整數m（m≥3），且am＝bm＞0，Sm≥Pm．