Question

【題目】已知，． 對于函數、，若存在常數，，使得，不等式都成立，則稱直線是函數與的分界線．

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，試探究函數與是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）時，與存在“分界線”，理由見解析

【解析】

(1)求導后分,與三種情況討論即可.

(2)由題意,代入時,有,再根據二次函數的恒成立問題求得,再證明即可.

（1）由得,

若時,有,則在上單調遞增；

若時,由解得,

若時,對于,有；,有,

則在上單調遞減,在上單調遞增；

若時,對于,有；,有,

則在上單調遞增,在上單調遞減．

（2）當時,,,

若對都成立,

即對都成立．

則時,有；且,對都成立,

即,對都成立．

所以 ,．

此時,令,

則,

令，在上恒成立，

又在上，

∴在單增且，

從而有時,；時,,即在

所以在上遞減,在上遞增．

因此,即．

故時,與存在“分界線”．