Question

【題目】已知函數

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）先求導數，再討論導函數零點，最后根據區間導函數符號確定單調性，

（2）結合函數單調性以及零點存在定理分類討論零點個數，即得結果

解（1）

（�。�時，當時，；當時，，

所以f(x)在單調遞減，在單調遞增；

（ⅱ）時

若，則，所以f(x)在單調遞增；

若，則，故當時，， ，；所以f(x)在單調遞增，在單調遞減；

若，則，故當，， ，；所以f(x)在單調遞增，在單調遞減；

綜上：時，f(x)在單調遞減，在單調遞增；

時，f(x)在單調遞增；

時，f(x)在單調遞增，在單調遞減；

時，f(x)在單調遞增，在單調遞減；

（2）（�。┊�a>0,則由（1）知f(x)在單調遞減，在單調遞增，

又，，取b滿足，且，

則，所以f(x)有兩個零點

（ⅱ）當a=0,則，所以f(x)只有一個零點

（ⅲ）當a<0,若,則由（1）知，f(x)在單調遞增．又當時，，故f(x)不存在兩個零點

，則由（1）知，f(x)在單調遞減，在單調遞增，又當，f(x)<0,故f(x)不存在兩個零點

綜上，a的取值范圍為.