Question

【題目】兩個函數在公共定義域上恒有，則稱這兩個函數是該區間上的“同步函數”.

（1）試判斷與是否為公共定義域上的“同步函數”？

（2）已知函數與是公共區域上的“同步函數”，求實數的取值范圍；

（3）已知與在上是“同步函數”，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）不是；（2）或；（3）.

【解析】

（1）由反正弦函數的定義域和值域、指數函數的單調性，結合新定義即可判斷；

（2）分別討論，對應方程的系數是否成比例，以及判別式的符號，解不等式，結合新定義，即可得到所求范圍；

（3）運用對數函數的定義域可得，求得，的零點，由于，討論當時，當時，當時，由不等式的性質即可得到所求范圍．

(1)在遞增,在遞減，

當時,,而在時,,不滿足，

故與不為公共定義域上的“同步函數”；

(2)由與是公共區域上的“同步函數”，

可得在公共定義域上，

若，對應的方程是同解方程，

則，解得.

此.

若,對應的方程不是同解方程，

要保證對于定義域內的任意實數，函數值乘積均為正，

則需要分子分母的判別式均小于，

即，

解得.

的范圍是.

當時,函數化為與，

大于等于,的判別式小于,大于恒成立，函數值乘積恒非負.

綜上，則實數a的取值范圍是或；

(3)由定義域可得，由題意可得，

由,可得,

由，可得，

由題意可得兩零點之間無正整數，

由于,所以當時,，不滿足題意；

當時,,不滿足題意；

當時,，滿足題意.

則的范圍是.