Question

【題目】已知函數．（是自然對數的底數，）

（1）討論的單調性，并證明有且僅有兩個零點；

（2）設是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增，證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數的定義域為，利用導數得出函數在和上均為增函數，并利用零點存在定理得出函數在上有一個零點，得出，再證明出也滿足方程，從而得出函數有兩個零點；

（2）由題意得出，利用這個關系式得出函數在點處的切線斜率為，從而證明出題中結論.

（1）函數的定義域為，，

所以，函數在、上單調遞增.

又，.

所以，函數在區間有唯一零點，即，即.

又，，

因此，函數在區間有唯一零點.

綜上所述，有且僅有兩個零點；

（2）因為 ，所以點在曲線上.

由題設，即.

所以直線的斜率

因為曲線在點處切線的斜率是，

曲線在點處切線的斜率也是，

因此，曲線在點處的切線也是曲線的切線.