Question

【題目】對于定義域為[0，1]的函數f（x），如果同時滿足以下三個條件：

①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0

②f（1）=1

③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2） 成立；則稱函數f（x）為理想函數．試證明下列三個命題：

（1）若函數f（x）為理想函數，則f（0）=0；

（2）函數f（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是理想函數；

（3）若函數f（x）是理想函數，假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，則f（x0）=x0．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）取特殊值可得f（0）≤0且f（0）≥0，故f（0）=0；（2）證明函數f（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）滿足條件①②③；（3）由條件③可證得，對任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，有f（n）≥f（m），再用反證法證明．

試題解析：

（1）取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0）

即f（0）≤0，由已知x∈[0，1]，總有f（x）≥0可得f（0）≥0，

∴f（0）=0；

（2）①顯然f（x）=2x﹣1在[0，1]上滿足f（x）≥0；②f（1）=1．

③若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，

則有f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）]

=（2x2﹣1）（2x1﹣1）≥0，

故f（x）=2x﹣1滿足條件①②③，

故f（x）=2x﹣1為理想函數．

（3）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，

∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．

若f（x0）＞x0，則f（x0）≤f[f（x0）]=x0，矛盾；

若f（x0）＜x0，則f（x0）≥f[f（x0）]=x0，矛盾．

綜上有f（x0）=x0．