Question

【題目】已知拋物線：的焦點為，過焦點做傾斜角為的120°的直線交于，兩點，為坐標原點，．

（1）求拋物線的方程；

（2）過拋物線焦點，且與坐標軸不垂直的直線l交拋物線于，兩點，，在拋物線上，且，，若，，，四點都在圓上，求圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根據題意設直線方程為，聯立方程，利用根與系數關系得，代入面積公式解得，進而求出拋物線的方程；

（2）由（1）可得焦點的坐標，設直線的方程為，聯立方程，表示出弦長，得其中點，再由，，可知為線段的中垂線，設其方程為，再聯立方程得弦長，再設中點為，再由，，，四點都在圓上，等價于，從而，解方程解即可.

（1）拋物線：的焦點為，

則過焦點傾斜角為120°的直線的方程為，

設，，

聯立方程，整理得

所以，，，，

由，解得．

故拋物線方程為．

（2）由題意可設的方程為，代入得．

設，，則，．

故的中點為，．因為

，，故直線為線段的垂直平分線，斜率為，

設其為，則方程為，

將上式代入，并整理得．

設，，則，．

設中點為，故，

．

由于直線為線段的垂直平分線，故，，，四點在同一圓上等價于

，從而，

即，

化簡得，解得或．

當時，圓心為，，圓的方程為；

當時，圓心為，，圓的方程為．