Question

【題目】已知集合M是滿足下列性質的函數的全體；在定義域內存在實數t，使得．

（1）判斷是否屬于集合M，并說明理由；

（2）若屬于集合M，求實數a的取值范圍；

（3）若，求證：對任意實數b，都有．

Answer 1

【答案】（1）不屬于,理由詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）利用f（x）＝3x+2，通過f（t+2）＝f（t）+f（2）推出方程無解，說明f（x）＝3x+2不屬于集合M；

（2）由屬于集合M，推出有實解，即（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）＝0有實解，對參數分類討論，利用判斷式求解即可；

（3）當f（x）＝2x+bx2時，方程f（x+2）＝f（x）+f（2）3×2x+4bx﹣4＝0，令g（x）＝3×2x+4bx﹣4，則g（x）在R上的圖象是連續的，當b≥0時，當b＜0時，判斷函數是否有零點，證明對任意實數b，都有f（x）∈M．

解：（1）當時，方程

此方程無解，所以不存在實數t，使得，

故不屬于集合M﹒

（2）由，屬于集合M，可得

方程有實解

有實解有實解，

若時，上述方程有實解；

若時，有，解得，

故所求a的取值范圍是．

（3）當時，方程

，

，則在上的圖像是連續的，

當時，，，故在內至少有一個零點

當時，，，故在內至少有一個零點

故對任意的實數b，在上都有零點，即方程總有解，

所以對任意實數b，都有．