Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）是否存在非負整數，使得函數是單調函數，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）已知，若存在，使得當時，的最小值是，求實數的取值范圍.（注：自然對數的底數）

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，的值是0，1，2；（3）

【解析】

（1）當時求出函數的導數，計算及，利用點斜式，即可求出切線方程。

（2）求出函數的導數，要使函數是單調函數即是使或恒成立，對分類討論，即可求出非負整數的值。

（3）通過討論的范圍，根據函數的單調性求出的最小值，從而確定實數的取值范圍。

解：（1）的定義域為.

當時，，.∴.

所以，函數在處的切線方程為

即

（2）∵，∴，.

當時，.∴是單調減函數.符合

當時，若是單調增函數，則，

即恒成立，這不可能；

若是單調減函數，則，

即恒成立，令，其開口方向向上，對稱軸方程為

，，故，∴

又，.

綜上，滿足條件的非負整數的值是0，1，2

（3）∵

∴

∴

①當0時，.

當時，，在上為減函數；

當時，，在上為增函數.

所以當時，，不符合題意.

②當時，.

（i）當，即時，當變化時，，的變化情況如下：

				1
	－	0	+	0	－
	↘	極小值	↗	極大值	↘

若滿足題意，只需滿足，整理得.

令，

當時，，

所以在上為增函數，

所以，當時，.

可見，當時，恒成立，故當，時，函數的最小值為.；所以滿足題意.

（ⅱ）當，即時，，，0，當且僅當時取等號.

所以在上為減函數.從而在上為減函數.符合題意.

（ⅲ）當，即時，當變化時，，的變化情況如下表：

		1
	－	0	+	0	－
	↘	極小值0	↗	極大值	↘

若滿足題意，只需滿足，且（若，不符合題意），

即，且.

又，∴.

綜上，.

所以實數的取值范圍是.