Question

【題目】已知函數.

(1)求的單調區間；

(2)若，求證：函數只有一個零點，且.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是和當時，. 所以，函數的單調遞減區間是當時，，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是和；（Ⅱ）證明見解析

【解析】

試題（Ⅰ）先求出函數的定義域，求出函數的導數，再令，求得解，

討論當時及，列出函數與隨的變化情況得到函數的單調區間

（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知，函數的極小值，極大值，并且極小值與極大值均大于0，又由函數在是減函數，可得至多有一個零點，又由可得函數只有一個零點，且，得到證明

試題解析：（Ⅰ）解：的定義域為.

令，或

當時，，函數與隨的變化情況如下表：

所以，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是和

當時，. 所以，函數的單調遞減區間是

當時，，函數與隨的變化情況如下表：

所以，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是和.

（Ⅱ）證明：當時，由（Ⅰ）知，的極小值為，極大值為.

因為，且又由函數在是減函數，可得至多有一個零點. 又因為，所以 函數只有一個零點，且.