Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，底面△是等腰直角三角形，，為側棱的中點．

（1）求證：平面；

（2）求異面直線與所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到，根據直棱柱的幾何性質證得，由此證得平面.

（2）首先通過平移作出異面直線與所成的角（或其補角）.解法一，通過解直角三角形求得異面直線與所成的角的正切值，由此求得異面直線與所成的角的大小.解法二，利用余弦定理解三角形，求得異面直線與所成的角的余弦值，由此求得異面直線與所成的角的大小.

（1）因為底面△是等腰直角三角形，且，所以，，

因為平面，所以，

又，

所以，平面．

（2）取點，連結、，則∥

所以，就是異面直線與所成角（或其補角）．

解法一：由已知，，，所以平面，所以△是直角三角形，且，

因為，，所以，，

所以，異面直線與所成角的大小為．

解法二：在△中，，，，

由余弦定理得，．

所以，異面直線與所成角的大小為．