Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，平面平面，點在上，且．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）當異面直線與所成角的余弦值為時，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）先證明⊥，再利用面面垂直性質得⊥平面，可得⊥，即可證明；

（Ⅱ）以為原點，分別以向量，，的方向為軸、軸和軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角即可.

（Ⅰ）證明：延長和，使它們交于，連結，如圖，

由已知，∥，，所以；

又因為，所以為直角三角形，且∠為直角，即⊥；

不妨設，則在直角梯形中，，，；

所以，，從而⊥；

又因為平面⊥平面，平面平面，

所以⊥平面，從而⊥；

因為⊥，⊥，，所以⊥平面；

又因為平面，所以平面⊥平面．

（Ⅱ）過作⊥于，則由平面⊥平面及平面平面，

有⊥平面，從而，，兩兩垂直．

以為原點，分別以向量，，的方向為軸、軸和軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，

設∠（），，結合（1），易得

，，，．

從而，，．

由直線與所成角的余弦值為，有，

即，解得，即，

從而．

，；

設向量為平面的一個法向量，則由且，

有，令，得；

設向量為平面的一個法向量，則由且，有

，令，得；

；

從而；

所以，二面角的正弦值為．