Question

【題目】已知橢圓，以橢圓的頂點為頂點的四邊形的面積為，且該四邊形內切圓的半徑為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設是過橢圓中心的任意一條弦，直線是線段的垂直平分線，若是直線與橢圓的一個交點，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知條件列出的方程組，解得后得橢圓方程；

（2）當不在坐標軸上時，設直線的方程為：，設，

代入橢圓方程求出交點坐標，得弦長，同理得點坐標得，然后計算三角形面積，利用基本不等式得最小值．再求出直線與坐標軸重合時，三角形的面積，比較后可得最小值．

（1）

∴橢圓的標準方程為

（2）當不在坐標軸上時，設直線的方程為：，設，

，

同理：，

∴

∵

（當且僅當，即進“=”成立）

∴，

當直線與坐標軸生重合時，易得，

∵

∴當且僅當時，面積的最小值為.