Question

【題目】已知橢圓的右焦點在圓上，直線交橢圓于，兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若（為坐標原點），求的值；

（3）設點關于軸對稱點為（與點不重合），且直線與軸交于點，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值為1.

【解析】

（1）由圓，令，求得或，進而求得的值，得到橢圓的標準方程；

（2）把直線MN的方程與橢圓的方程聯立方程組，利用根與系數的關系，結合，列出方程，求得的值，即可得到結論；

（3）由橢圓的對稱性可得，得出MN的直線方程，求得與軸的交點所以，得到，利用三角形的面積公式和基本不等式，即可求解.

（1）由題意，圓，令，解得或，

即圓與軸交點分別為，，所以或，

又由，因為，所以或，

又因為，所以，故橢圓方程是.

（2）設，，

聯立方程組，整理得，

所以，，則，

因為，可得，所以，

代入可得，解得，

所以，即為定值.

（3）由橢圓的對稱性可得，，

所以直線的方程為，

令，可得，

所以，得到.

所以

，

當且僅當時，即時取等號，所以的面積最大值為1.