Question

【題目】已知函數f（x）＝x3﹣4x2+5x﹣4.

（1）求曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線方程：

（2）若g（x）＝f（x）+k，求g（x）的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）x﹣y﹣4＝0（2）答案不唯一，具體見解析

【解析】

（1）求出原函數的導函數，再求得（2）與（2），利用直線方程點斜式求曲線在點，（2）處的切線方程；（2）的零點個數，即與的交點個數，利用導數求函數的單調性與極值，作出圖象，數形結合得答案．

（1）∵f（x）＝x3﹣4x2+5x﹣4，∴f′（x）＝3x2﹣8x+5，

∴f′（2）＝1，又f（2）＝﹣2，

∴曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y﹣（﹣2）＝x﹣2，

即x﹣y﹣4＝0；

（2）g（x）＝f（x）+k的零點個數，即y＝f（x）與y＝﹣k的交點個數，

由f′（x）＝0，可得x＝1或x，

當x∈（﹣∞，1）∪（）時，f′（x）＞0，當x∈（1，）時，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，1），（）上單調遞增，在（1，）上單調遞減，

∴f（x）極大值＝f（1）＝﹣2，.

如圖所示，

∴﹣k∈（﹣∞，）∪（﹣2，+∞）時，有1個交點，﹣k∈（，﹣2）時，有3個交點，

﹣k或﹣k＝﹣2時，有2個交點.

綜上所述，k∈（﹣∞，2）∪（，+∞）時，g（x）有1個零點，

k∈（2，）時，g（x）有3個零點，

k或2時，g（x）有2個零點.