Question

【題目】已知函數．

（1）當時，討論的單調性；

（2）設函數，若存在不相等的實數，，使得，證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）對函數進行求導得，再對分三種情況進行討論；

（2）先求出，再對進行求導研究函數的圖象特征，當時，圖象在上是增函數，不符合題；當時，再將問題轉化為構造函數進行求解證明.

（1）函數的定義域為.

，

因為，所以，

①當，即時，

由得或，由得，

所以在，上是增函數， 在上是減函數；

②當，即時，所以在上是增函數；

③當，即時，由得或，由得，所以在，.上是增函數，在.上是減函

綜上可知：

當時在，上是單調遞增，在上是單調遞減；

當時，在.上是單調遞增；

當時在，上是單調遞增，在上是單調遞減.

（2），，

當時， ，所以在上是增函數，故不存在不相等的實數，，使得，所以.

由得，即，

不妨設，則，

要證，只需證，即證，

只需證，令，只需證，即證，

令，則，

所以在上是增函數，所以，

從而，故.