Question

【題目】如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的圓O交AC于點E，點D是BC邊的中點，連接OD交圓O于點M．

（1）求證：O、B、D、E四點共圓；
（2）求證：2DE2=DMAC+DMAB．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接BE、OE，則

∵AB為圓0的直徑，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，

又∵D是BC的中點，

∴ED是Rt△BEC的中線，可得DE=BD．

又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．

可得∠OED=∠OBD=90°，

因此，O、B、D、E四點共圓

（2）解：延長DO交圓O于點H，

∵DE⊥OE，OE是半徑，∴DE為圓O的切線．

可得DE2=DMDH=DM（DO+OH）=DMDO+DMOH．

∵OH= ，OD為△ABC的中位線，得DO= ，

∴ ，化簡得2DE2=DMAC+DMAB

【解析】（1）連接BE、OE，由直徑所對的圓周角為直角，得到BE⊥EC，從而得出DE=BD= ，由此證出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圓內接四邊形形的判定定理得到O、B、D、E四點共圓；（2）延長DO交圓O于點H，由（1）的結論證出DE為圓O的切線，從而得出DE2=DMDH，再將DH分解為DO+OH，并利用
OH= 和DO= ，化簡即可得到等式2DE2=DMAC+DMAB成立．